Question

【題目】已知數列，，其前項和滿足，其中.

（1）設，證明：數列是等差數列；

（2）設，為數列的前項和，求證：；

（3）設（為非零整數，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，得到，當時，，即可化簡，即可證得結論；（2）由（1）可得 ，利用乘公比錯誤相減法，即可求解數列的和；（3）由得，整理得，當為奇數時，，∴；當為偶數時，，∴，由為非零整數，即可求解．

試題解析：（1）當時，，∴，

當時，，

∴，即，∴（常數），

又，∴是首項為2，公差為1的等差數列，∴．

（2） ，

∴，

，

相減得 ，

∴．

（3）由，得，

，

，，

當為奇數時，，∴；

當為偶數時，，∴，

∴，又為非零整數，∴．