Question

【題目】已知橢圓，若在，，，四個點中有3個在上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點與點是橢圓上關于原點對稱的兩個點，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ．(2)

【解析】

（1） 由于橢圓是對稱圖形，得點，必在橢圓上，故，再分別討論在上時和在上時橢圓的方程，根據題意進行排除，最后求解出結果。

（2） 設，，利用向量的坐標運算表達出的值，根據對稱性分類討論設出直線的方程，聯立橢圓方程，結合韋達定理，將轉化為求函數的值域問題，從而求解出的范圍。

解：（1）與關于軸對稱，

由題意知在上，當在上時，，，，

當在上時，，，

∴與矛盾，∴橢圓的方程為．

（2）設，，、關于坐標原點對稱，

，，

．

當與軸不垂直時，設直線的方程為，

代入橢圓方程得，，

，

由于可以取任何實數，故．

當與軸垂直時，，，

∴．

綜上可得．