Question

設a＞0，a≠1，函數f（x）=a lg(x2-2x+3)有最大值，則不等式log_a（x²-4x-4）＞0的解集為

 

．

Answer 1

考點：指、對數不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：根據指數函數和對數函數的性質求出a的取值范圍即可得到結論．

解答： 解：∵x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，
∴lg（x²-2x+3）≥lg2，有最小值，
要使函數f（x）=a lg(x2-2x+3)有最大值，
則當a＞1時，f（x）≥a^lg2，此時有最小值，無最大值，不滿足條件，
當0＜a＜1時，f（x）＜a^lg2，此時有最大值，滿足條件，
故0＜a＜1，
則不等式log_a（x²-4x-4）＞0等價為不等式0＜x²-4x-4＜1，
即0＜（x-2）²-8＜1，則8＜（x-2）²＜9，
即2

2

＜x-2＜3或-3＜x-2＜-2

2

，
解得2+2

2

＜x＜5或-1＜x＜2-2

2

，
故不等式的解集為{x|2+2

2

＜x＜5或-1＜x＜2-2

2

}，
故答案為：{x|2+2

2

＜x＜5或-1＜x＜2-2

2

}

點評：本題主要考查不等式的求解，利用指數函數和對數函數的性質是解決本題的關鍵．