Question

已知函數f（x）=1+

2tanx

1+tan2x

-（1+cos2x）•tan²x，給出下列四個命題：
①函數f（x）的最小正周期為π，且在[

π

8

，

5

8

π]上遞減；
②直線x=

π

8

是函數f（x）的圖象的一條對稱軸；
③對稱中心（kπ+

π

8

，0）；
④若x∈[0，

π

8

]時函數f（x）的值域為[1，

2

]．
其中正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：化簡可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），由三角函數的性質逐個選項驗證可得．

解答： 解：化簡可得f（x）=1+

2tanx

1+tan2x

-（1+cos2x）•tan²x
=1+

2sinx cosx

1+ sin2x cos2x

-（1+2cos²x-1）•tan²x
=1+

2sinxcosx

cos2x+sin2x

-2cos²x•tan²x=1+sin2x-2sin²x
=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z
∴①函數f（x）的最小正周期為π，且在[

π

8

，

5

8

π]上遞減，正確；
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

可得x=

k

2

π+

π

8

，k∈Z
∴②直線x=

π

8

是函數f（x）的圖象的一條對稱軸，正確；
由2x+

π

4

=kπ可得x=

k

2

π-

π

8

，可得對稱中心為（

k

2

π-

π

8

，0）k∈Z
∴③對稱中心為（kπ+

π

8

，0），錯誤；
④若x∈[0，

π

8

]，則（2x+

π

4

）∈[

π

4

，

π

2

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]，可得f（x）的值域為[1，

2

]，正確．
故答案為：①②④

點評：本題考查三角函數的化簡，涉及三角函數的單調性和值域，屬中檔題．