Question

已知函數f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

，如果關于x的方程f（x）=g（x）在區間[

1

e

，e]內有兩個實數解，那么實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：將方程的解的個數問題轉化為函數的圖象的交點個數問題；通過導數研究函數的單調性及極值；通過對k與函數h（x）的極值的大小關系的討論得到結論．

解答： 解：由f（x）=g（x），
∴kx=

lnx

x

，
∴k=

lnx

x2

，
令h（x）=

lnx

x2

，
∵方程f（x）=g（x）在區間[

1

e

，e]內有兩個實數解，
∴h（x）=

lnx

x2

在[

1

e

，e]內的圖象與直線y=k有兩個交點．
∴h′（x）=

1-2lnx

x3

，
令h′（x）=

1-2lnx

x3

=0，則x=

e

，
當x∈[

1

e

，

e

]內h′（x）＞0，當x∈[

e

，e]內h′（x）＜0，
當x=

e

，h（x）=

1

2e

，當x=e時，h（e）=

1

e2

，當x=

1

e

，h（x）=-e²，
故當k∈[

1

e2

，

1

2e

）時，該方程有兩個解．
故答案為：[

1

e2

，

1

2e

）

點評：本題考查通過導函數研究函數的單調性、求函數的極值、求函數交點的個數，