Question

【題目】已知函數，．

（1）若函數與的圖象上存在關于原點對稱的點，求實數的取值范圍；

（2）設，已知在上存在兩個極值點，，且，求證：（其中為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）將問題轉化為在上有解的問題，令，利用導數可求得，進而求得的取值范圍；

（2）要證，只需證，根據有兩個極值點可得到，設，則只需證，令，利用導數可求得，進而證得結論.

（1）函數與的圖像上存在關于原點對稱的點，

的圖像與函數的圖像有交點，

即在上有解，即在上有解，

設，則，

當時，為減函數；當時，為增函數，

，，即實數的取值范圍為.

（2），．

在上存在兩個極值點，且，

，則且，

，即，

設，則，

要證，即證，

只需證，即證，

設，

則，

在上單調遞增，，即，

.