Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣2sinx．
（Ⅰ）求函數f（x）在 上的最值；
（Ⅱ）若存在 ，使得不等式f（x）＜ax成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣2cosx，

x
y'		+	0	﹣	0	+
y		↗	極大值	↘	極小值	↗

（Ⅱ）f（x）＜ax，
∴2sinx﹣（1﹣a）x＞0
設g（x）=2sinx﹣（1﹣a）x，則g'（x）=2cosx﹣（1﹣a）
由
①1﹣a≥2即a≤﹣1，此時g'（x）＜0得出g（x）在 單調遞減，g（x）＜g（0）=0不成立
②1﹣a≤0即a≥1，此時g'（x）＞0得出g（x）在 單調遞增，g（x）＞g（0）=0成立
③0＜1﹣a＜2即﹣1＜a＜1，令 ，存在唯一 ，使得 ．當x∈（0，x0）時，g'（x）＞0得出g（x）＞g（0）=0，
∴存在 ，有g（x）＞0成立
綜上可知：a＞﹣1
【解析】（1）求出導函數，得出極值點，根據極值點求閉區間函數的最值；（2）不等式整理得出2sinx﹣（1﹣a）x＞0，構造函數，根據導函數進行分類討論，即最大值大于零即可．