Question

【題目】如圖，直三棱柱 中， , , 是棱上的動點.

證明： ；

若平面分該棱柱為體積相等的兩個部分，試確定點的位置，并求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）30°

【解析】試題分析：（1）由平面得，再由,得平面,

所以；（2）根據割補法求，根據體積為三棱柱一半，求得為中點；）取的中點,根據垂直關系可得是二面角的平面角.最后解三角形可得二面角的大小

試題解析：解：（I）平面,

又,即

平面,

又平面， ；

(II) ,

依題意,

為中點；

（法1）取的中點,過點作于點，連接

,面面面

,得點與點重合，且是二面角的平面角.

設，則,得二面角的大小為30°.

（法2）以為空間坐標原點， 為軸正向、為軸正向、為軸正向，建立空間直角坐標系，設的長為 1，則.

作中點，連結，則，從而平面，平面的一個法向量

設平面的一個法向量為，則

，令，得，

故二面角為30°.