Question

【題目】已知無窮數列{an}的各項都是正數，其前n項和為Sn ， 且滿足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常數r∈N；
（1）求證：an+2﹣an是一個定值；
（2）若數列{an}是一個周期數列（存在正整數T，使得對任意n∈N* ， 都有an+T=an成立，則稱{an}為周期數列，T為它的一個周期，求該數列的最小周期；
（3）若數列{an}是各項均為有理數的等差數列，cn=23n﹣1（n∈N*），問：數列{cn}中的所有項是否都是數列{an}中的項？若是，請說明理由，若不是，請舉出反例．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵rSn=anan+1﹣1，①

∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②

②﹣①，得：ran+1=an+1（an+2﹣an），

∵an＞0，∴an+2﹣an=r

（2）解：當n=1時，ra=aa2﹣1，∴a2= ，

根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，…．

當r＞0時，奇數項和偶數項都是單調遞增的，所以不可能是周期數列，

∴r=0時，數列寫出數列的前幾項：a， ，a， ，…．

所以當a＞0且a≠1時，該數列的周期是2

（3）解：因為數列{an}是一個有理等差數列，a+a+r=2（r+ ），

化簡2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理數．

設 =k，是一個完全平方數，

則r2+16=k2，r，k均是非負整數r=0時，a=1，an=1，Sn=n．

r≠0時（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8組，

其中只有 ，符合要求，

此時a=2，an= ，Sn= ，

∵cn=23n﹣1（n∈N*），an=1時，不符合，舍去．

an= 時，若23n﹣1= ，則：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2時，k= ，不是整數，

因此數列{cn}中的所有項不都是數列{an}中的項

【解析】（1）由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1（an+2﹣an），由此能夠證明an+2﹣an為定值．（2）當n=1時，ra=aa2﹣1，故a2= ，根據數列是隔項成等差，寫出數列的前幾項，再由r＞0和r=0兩種情況進行討論，能夠求出該數列的周期．（3）因為數列{an}是一個有理等差數列，所以a+a=r=2（r+ ），化簡2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理數，由此入手進行合理猜想，能夠求出Sn ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．