Question

【題目】設是不小于3的正整數，集合，對于集合中任意兩個元素，.

定義1：.

定義2：若，則稱，互為相反元素，記作，或.

（Ⅰ）若，，，試寫出，，以及的值；

（Ⅱ）若，證明：；

（Ⅲ）設是小于的正奇數，至少含有兩個元素的集合，且對于集合中任意兩個不相同的元素，，都有，試求集合中元素個數的所有可能值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）2.

【解析】

（Ⅰ）根據定義求，，以及的值；（Ⅱ）設，，根據定義求，再根據定義化簡，即得結果，（Ⅲ）先假設集合有三個不相同的元素，，，再根據得恰有個1，與個0，同理可得恰有個1，與個0，調整次序對應相減可得，最后根據為奇數，得到矛盾，否定假設，即得結果.

（Ⅰ），，

（Ⅱ）設，，，

由，可得，

所以，

當且僅當，，即，時上式“=”成立

由題意可知

即

所以，

（Ⅲ）解法1：假設，，為集合中的三個不相同的元素.

則

即

又由題意可知或1，

恰有個1，與個0

設其中個等于1的項依次為

個等于0的項依次為

由題意可知

所以，同理

所以

即

因為

由（2）可知

因為

所以，

設，由題意可知

所以，得與為奇數矛盾

所以假設不成立，即集合中至多有兩個元素

當時符合題意

所以集合中元素的個數只可能是2

解法2：假設，，為集合中的三個不相同的元素.

則

即

又由題意可知或1，

恰有個1，與個0

設其中個等于1的項依次為

個等于0的項依次為

由題意可知

所以①

同理②

①—②得

又因為為奇數

與矛盾

所以假設不成立，即集合中至多有兩個元素

當時符合題意

所以集合中元素的個數只可能是2