Question

【題目】已知是定義在[-1,1]上的奇函數，且，若任意的，當時，總有．

（1）判斷函數在[-1,1]上的單調性，并證明你的結論；

（2）解不等式：；

（3）若對所有的恒成立，其中（是常數），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．（3）見解析.

【解析】

（1）任取x1、x2兩數使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，進而根據函數為奇函數推知f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），讓f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出的形式，然后進而判定。

（2）根據函數f（x）在[-1，1]上是增函數知x滿足的不等式組，進而可解得x的范圍

（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即成立．對p討論得到。

（1）在上是增函數，證明如下：

任取，且，則，于是有，

而，故，故在上是增函數

（2）由在上是增函數知：

，

故不等式的解集為．

（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，

只需成立，即成立．

① 當時，的取值范圍為；

②當時，的取值范圍為；

③當時，的取值范圍為R．