Question

【題目】如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC=2；
（1）求三棱錐A﹣BCD的體積；
（2）設M為BD的中點，求異面直線AD與CM所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，因為AB⊥平面BCD，

所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，

因為AB⊥平面BCD，AD與平面BCD所成的角為30°，故∠ADB=30°，

由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，

∴BD= =2 ，CD= =2 ，

則VA﹣BCD= = =

=

（2）解：以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，

建立空間直角坐標系，

則A（0，2，2），D（2 ，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（ ），

=（2 ，﹣2，﹣2）， =（ ），

設異面直線AD與CM所成角為θ，

則cosθ= = = ．

θ=arccos ．

∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos ．

【解析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱錐A﹣BCD的體積．（2）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)．