Question

【題目】已知函數f（x）=logm（m＞0且m≠1），

（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（II）若m=，判斷f（x）在（3，+∞）的單調性（不用證明）；

（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）是奇函數（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）先求定義域，再判斷與f（x）關系，最后根據奇偶性定義作判斷與證明，（Ⅱ）根據單調性定義進行判斷，（Ⅲ）先根據單調性確定方程組，轉化為一元二次方程有兩正根，再根據二次方程實根分布列方程，最后解不等式組得結果.

解：（Ⅰ）f（x）是奇函數；證明如下：

由解得x＜-3或x＞3，

所以f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞），關于原點對稱．

∵=，

故f（x）為奇函數/

（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，

=，

∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），

即，

當m=時，，即f（x1）＜f（x2）．

故f（x）在（3，+∞）上單調遞減．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當0＜m＜1時，f（x）在[α，β]上單調遞減．

假設存在β＞α＞0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]．

則有，∴．

所以α，β是方程的兩正根，

整理得mx2+（2m-1）x-3m+3=0在（0，+∞）有2個不等根α和β．

令h（x）=mx2+（2m-1）x-3m+3，則h（x）在（0，+∞）有2個零點，

解得，

故m的取值范圍為．