Question

【題目】在平面四邊形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖．
（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD中點，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．
∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．
設平面BCM的法向量=（x，y，z），則，
令y=﹣1，則x=1，z=1．
∴=（1，﹣1，1）．
設直線AD與平面MBC所成角為θ．
則sinθ=|cos<,>|===．

【解析】（1）利用面面垂直的性質定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設直線AD與平面MBC所成角為θ，利用線面角的計算公式sinθ=|cos<,>|=即可得出．