【題目】如圖所示，在平面直角坐標系
中，第一象限內有定點
和射線
，已知，
的傾斜角分別為
，
，
，
，
軸上的動點
與
，共線．
（1）求點坐標（用
表示）；
（2）求
面積
關于
的表達式
；
（3）求面積的最小時直線
的方程．
【答案】（1）
；（2）
；（3）見解析
【解析】
（1）由題易知
，可得C點坐標；
（2）由題易知直線
, 設
，
共線,即斜率相等，可得
，再利用面積公式求得結果；
（3）由（2）易知
，將分母看做關于
的二次函數，求最值即可得出結果.
(1) 
，又
(2)直線,設
共線,∴
解得:,∴
(3)法一、
記
(ⅰ)若
即
,函數
在
上遞減，當且僅當
即
時
取得最小值,此時
,直線
的方程為:
(ⅱ)若
即
,函數在
上遞增，
上遞減，當且僅當
即
時
取得最小值,此時
,直線
的方程為:
法二、記
,
以下用單調性的定義證明“對勾”函數的單調性（略）
(ⅰ)若,
,在
上遞減,當且僅當
即時取得最小值,此時,直線的方程為:
(ⅱ)若,
,在
上遞減, 在
上遞增,
當且僅當
即時取得最小值,此時,直線的方程為: （法二中“對勾”函數的單調性未證明的不扣分）
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著網絡營銷和電子商務的興起，人們的購物方式更具多樣化．某調查機構隨機抽取8名購物者進行采訪，4名男性購物者中有3名傾向于網購，1名傾向于選擇實體店，4名女性購物者中有2名傾向于選擇網購，2名傾向于選擇實體店．
（1）若從8名購物者中隨機抽取2名，其中男女各一名，求至少1名傾向于選擇實體店的概率：
（2）若從這8名購物者中隨機抽取3名，設X表示抽到傾向于選擇網購的男性購物者的人數，求X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】德國數學家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半（即
）；如果n是奇數，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1. 對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現在請你研究：如果對正整數n（首項）按照上述規則施行變換后的第8項為1（注：l可以多次出現），則n的所有不同值的個數為
A. 4 B. 6 C. 8 D. 32
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數方程為：
（t為參數），曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）寫出C的直角坐標方程，并指出C是什么曲線；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求|PQ|值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=logm
（m＞0且m≠1），
（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（II）若m=
，判斷f（x）在（3，+∞）的單調性（不用證明）；
（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．
（Ⅰ）求證：平面ABC1⊥平面A1C1CA；
（Ⅱ）設D是A1C1的中點，判斷并證明在線段BB1上是否存在點E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱錐E﹣ABC1的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}前n項和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（Ⅰ）求證數列{an}是首項為1的等比數列；
（Ⅱ）當a2=2時，是否存在等差數列{bn}，使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2對一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線E：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1 ， l2于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．
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