Question

已知動圓M過定點F（1，0）且與直線x=-1相切，圓心M的軌跡為H．
（1）求曲線H的方程；
（2）一條直線AB經過點F交曲線H于A、B兩點，點C為x=-1上的動點，是否存在這樣的點C，使得△ABC是正三角形？若存在，求點C的坐標；否則，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意圓心為M的動圓M過點（1，0），且與直線x=-1相切，利用拋物線的定義，可得圓心M的軌跡是以（1，0）為焦點的拋物線，從而得到所求軌跡方程．
（2）假設存在這樣的點C，使得△ABC是正三角形，由方程組化簡得出二次方程，再得AB的中點坐標M（2t²+1，2t），先確定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，確定C（-1，-2t³），利用

3

2

|AB|=|CM|，求出t的值，從而可得點C的坐標，即可得出結論．

解答： 解：（1）由題意圓心為M的動圓M過點（1，0），且與直線x=-1相切，
所以圓心M的軌跡是以（1，0）為焦點的拋物線，
∴圓心M的軌跡方程為y²=4x．F（1，0）
故曲線H的方程為：y²=4x．
（2）假設存在點C，使得△ABC為正三角形，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，m），
直線AB的方程．

y2=4x x=ty+1

，化簡得：y²-4ty-4=0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
x₁+x₂=4t²+2，得AB的中點坐標M（2t²+1，2t），
①當直線的斜率不存在時，t=0，A（1，2），B（1，-2），可能C（-1，0），
AB=4，AC=BC=2

2

，不可能為正三角形，
②當直線的斜率存在時，M（2t²+1，2t），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-1，m），
|AB|=x₁+x₂+2=4t²+2+2=4t²+4
∵△ABC是正三角形，
∴K_CM•K_AB=-1，
即-

m-2t

2t2+2

•

1

t

=-1，得m=2t³+4t
∴C（-1，2t³+4t），
∵|CM|=

(2t+2t3)2+(2t2+2)2

=（2t²+2）

t2+1

，
∴

3

2

（4t²+4）=（2t²+2）

t2+1

，
解得：t=±

2

，m=2（

2

）³+4

2

=8

2

所以存在這樣的點C（-1，±8

2

），使得△ABC是正三角形

點評：本題考查了拋物線的幾何性質，判斷是否存在滿足條件的點使得三角形為正三角形．具體涉及到拋物線的簡單性質，直線和拋物線的位置關系，是難題．