Question

已知橢圓方程x²+3y²=12，過點(diǎn)D（2，0）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為：my=x-2．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得弦弦長|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線l的距離，再利用S_△OAB=

1

2

d|AB|，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為：my=x-2．
聯(lián)立

my=x-2 x2+3y2=12

，化為（3+m²）y²+4my-8=0．
∴y₁+y₂=-

4m

3+m2

，y₁y₂=

-8

3+m2

．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 16m2 (3+m2)2 - 4×(-8) 3+m2 ]

=4

(1+m2)(3m2+6) (3+m2)2

．
點(diǎn)O到直線l的距離d=

2

1+m2

．
∴S_△OAB=

1

2

d|AB|
=

1

2

×

2

1+m2

×4

(1+m2)(3m2+6) (3+m2)2

=

2 3

m2+2+ 1 m2+2 +2

．
令m²+2=t≥2，
f（t）=t+

1

t

，
f′(t)=1-

1

t2

＞0，
∴函數(shù)f（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=2時(shí)，即m=0，f（t）取得最小值

5

2

，
∴S_△OAB取得最大值

4 6

3

．
∴△OAB面積的最大值是

4 6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．