Question

已知函數f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，函數g（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的增函數，h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

(f(x)≠1)，問是否存在實數m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數解為x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，代入構造關于k的方程，解方程求出k值，可得得函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的增函數，則f（x）=x，h（x）=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，分析函數的單調性后，可得

h(m)=m+1 h(m+1)=m

，解方程組可得滿足條件的m的值；
（III）由關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x），可得函數y=a^2x+1的圖象與函數y=x²+x的圖象在有且只有一個交點，且交點橫坐標在區間(

1

4

，

1

2

)上，進而構造關于a的不等式組，解不等式組可得實數a的取值范圍

解答：解：（I）∵f（x）=kx，
∴f（x）=k（x+1）
∴f（x+1）•f（x）=k²（x+1）x=x²+x
解得k=±1
∴f（x）=x或f（x）=-x
（II）若函數f（x）為R上的增函數，則f（x）=x
則h(x)=

f(x)+1

f(x)-1

=

x+1

x-1

=1+

2

x-1

，（x≠1）
當x＜1或x＞1時，函數h（x）均為減函數，若h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]
則

h(m)=m+1 h(m+1)=m

即

m+1 m-1 =m+1 (m+1)+1 (m+1)-1 =m

解得：m=-1或m=2
（III）∵關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數解為x₀，且x0∈(

1

4

，

1

2

)
∴函數y=a^2x+1的圖象與函數y=x²+x的圖象在有且只有一個交點，且交點橫坐標在區間(

1

4

，

1

2

)上，
故

0＜a＜1 a2× 1 4 +1＞( 1 4 )2+ 1 4 a2× 1 2 +1＜( 1 2 )2+ 1 2

解得(

5

16

)

2

3

＜a＜

3

2

點評：本題的考點是函數與方程的綜合應用，考察了絕對值函數，函數的定義域、值域構造方程的思想，二次方程根與系數的關系等，解題的關鍵是理解題意，將問題正確轉化，進行分類討論探究，本題考察了分類討論的思想，方程的思想，考察了推理判斷能力，是一道綜合性較強的題，思維難度大，解題時要嚴謹，本題易因為考慮不完善出錯．