Question

（已知函數f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，設t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數h（t），并探究函數h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），試求實數b的取值范圍．．

Answer 1

分析：（I）根據完全平方公式和立方和關系進行化簡變形，然后用t=log_ax+log_xa代入，即可將f（x）表示成t的函數h（t），欲使h（t）在定義域內有極值，只需h'（t）=0在（2，+∞）內有解，且h'（t）的值在根的左右兩側異號，h'（2）＞0，即可求出所求；
（II）對任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂）等價于x∈（1，+∞）時，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，然后利用導數研究最大值即可求出實數b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）∴h'（t）=-3t²+2kt+3
設t₁，t₂是h'（t）=0的兩根，則t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定義域內至多有一解，
欲使h（t）在定義域內有極值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）內有解，且h'（t）的值在根的左右兩側異號，∴h'（2）＞0得k＞

9

4

綜上：當k＞

9

4

時h（t）在定義域內有且僅有一個極值，當k≤

9

4

時h（t）在定義域內無極值
（Ⅱ）∵對任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂）等價于x∈（1，+∞）時，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4時，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）時，h'（t）＞0，而t∈（3，+∞）時，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，x∈[1，2]時，g(x)max=

8-4b，b≤ 3 2 5-2b，b＞ 3 2

∴

b≤ 3 2 8-4b≥10

或

b＞ 3 2 5-2b≥10

∴b≤-

1

2

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及恒成立等有關知識，是一道綜合題，有一定的難度，屬于中檔題．