Question

（2012•蕪湖二模）給出以下五個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（

π

3

，1），則函數(shù)圖象上過(guò)點(diǎn)P的切線斜率等于-

3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在區(qū)間（0，1）上存在零點(diǎn)．
⑤已知向量

a

=(1，-2)與向量

b

=(1，m)的夾角為銳角，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，

1

2

）
其中正確命題的序號(hào)是

②③④

．

Answer 1

分析：根據(jù)全稱、特稱命題的否定方法，可判斷①的真假；
根據(jù)已知求出k值，進(jìn)而求出導(dǎo)數(shù)解析式，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可判斷②的真假；
根據(jù)直線垂直的充要條件，可斜率積為-1，可判斷③的真假；
根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得④的真假
根據(jù)m=-2時(shí)兩向量同向，夾角為0，可判斷⑤的真假

解答：解：①錯(cuò)，命題“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1≤0”．
②中k•cos

π

3

=1，∴k=2，∴f（x）=2cosx，∴f'（x）=-2sinx斜率f′(

π

3

)=-2sin

π

3

=-

3

正確
③正確，a=1時(shí)，直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直成立，直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直時(shí)，斜率積為-1，則
a=1④中f（0）=1＞0，f(1)=

1

2

-1＜0∴有零點(diǎn)，正確
⑤錯(cuò)，m≠-2，當(dāng)m=-2時(shí)兩向量同向
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷，熟練掌握相關(guān)的基本概念是關(guān)鍵．