Question

已知函數f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，設t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數h（t），并探究函數h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x₁∈（1，+∞），?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），試求實數b的取值范圍．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2以及（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，即可求出h（t），；再求出其導函數，轉化為研究h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）內有解，且h'（t）的值在根的左右兩側異號即可得到結論；
（Ⅱ）先把問題轉化為x∈（1，+∞）時，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，；利用導函數研究出函數f（x）的單調性，并求出其最大值；再求出g（x）的最大值，兩者相比即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）∵（log_ax）²+（log_xa）²=（log_ax+log_xa）²-2=t²-2，
（log_ax）³+（log_xa）³=（log_ax+log_xa）[（log_ax+log_xa）²-3]=t³-3t，
∴h（t）=-t³+kt²+3t-2k，（t＞2）
∴h'（t）=-3t²+2kt+3
設t₁，t₂是h'（t）=0的兩根，則t₁t₂＜0，
∴h'（t）=0在定義域內至多有一解，
欲使h（t）在定義域內有極值，只需h'（t）=-3t²+2kt+3=0在（2，+∞）內有解，
且h'（t）的值在根的左右兩側異號，
∴h'（2）＞0得k＞

9

4

綜上：當k＞

9

4

時h（t）在定義域內有且僅有一個極值，
當k≤

9

4

時h（t）在定義域內無極值
（Ⅱ）∵對任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≤g（x₂）等價于x∈（1，+∞）時，f（x）_max≤g（x）_max，x∈[1，2]，
又k=4時，h（t）=-t³+4t²+3t-8 （t≥2），
h'（t）=-3t²+8t+3t∈（2，3）時，h'（t）＞0，
而t∈（3，+∞）時，h'（t）＜0
∴h（t）_max=h（3）=10，
x∈[1，2]時，g(x)max=

8-4b，b≤ 3 2 5-2b，b＞ 3 2

∴

b≤ 3 2 8-4b≥10

或

b＞ 3 2 5-2b≥10

∴b≤-

1

2

點評：本題主要考查導數的基本性質、導數的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力．