Question

【題目】已知拋物線C： 的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為或．

【解析】試題分析：（1）由已知條件，先求點的坐標，再由及拋物線的焦半徑公式列方程可求得的值，從而可得拋物線C的方程；（2）由已知條件可知直線與坐標軸不垂直，故可設直線的點參式方程： ，代入消元得．設由韋達定理及弦長公式表示的中點的坐標及長，同理可得的中點的坐標及的長．由于垂直平分線，故四點在同一圓上等價于，由此列方程可求得的值，進而可得直線的方程．

試題解析：（1）設，代入，得．由題設得，解得（舍去）或，∴C的方程為；（2）由題設知與坐標軸不垂直，故可設的方程為，代入得．設則

．故的中點為．又的斜率為的方程為．將上式代入，并整理得．設則．故的中點為．

由于垂直平分線，故四點在同一圓上等價于，從而即，化簡得，解得或．所求直線的方程為或．