Question

【題目】已知橢圓： 過(guò)點(diǎn)， 為橢圓的半焦距，且，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線， 與橢圓分別交于另兩點(diǎn)， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線的斜率為，求的面積；

（3）若線段的中點(diǎn)在軸上，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）;（2）2;（3）或．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件列出的方程組，結(jié)合即可求得橢圓方程；（2）設(shè)方程為，整理方程組，由韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，用用代替，得點(diǎn)坐標(biāo)，把將代入，得， ， 的面積即可求出；（3）設(shè)， ，代入橢圓方程整理可得，其中，所以，分和兩種情況，根據(jù)，求出的坐標(biāo)，求得直線方程．

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓： ，過(guò)點(diǎn)，

為橢圓的半焦距，且，

所以，且，

所以，解得， ，

所以橢圓方程為．

（2）設(shè)方程為，

由整理得，

因?yàn)?/span>，解得，

當(dāng)時(shí)，用代替，得，

將代入，得， ．

因?yàn)?/span>，所以， ，

所以的面積為．

（3）設(shè)， ，

則兩式相減得，

因?yàn)榫�段的中點(diǎn)在軸上，

所以，從而可得，

若，則，

∵，所以，得．

又因?yàn)?/span>，所以解得，

所以， 或， ，

所以直線方程為．

若，則，

因?yàn)?/span>，所以，得，

又因?yàn)?/span>，所以解得或，

經(jīng)檢驗(yàn)： 滿足條件， 不滿足條件．

綜上，直線的方程為或．