Question

【題目】某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤數據，并將日純利潤數據分成以下幾組（單位：萬元）：，，，，，，統計結果如下表所示：

組別
頻數	5	20	30	30	10	5

以上述樣本分布的頻率估計總體分布的概率，解決下列問題：

（1）從該大型超市近幾年的銷售記錄中抽出5天，求其中日純利潤在區間內的天數不少于2的概率；

（2）該超市經理由頻數分布表可以認為，該大型超市每天的純利潤服從正態分布，其中，近似為樣本平均數（每組數據取區間的中點值）.

①試利用該正態分布，估計該大型超市1000天內日純利潤在區間內的天數（精確到個位）；

②該大型超市負責人根據每日的純利潤給超市員工制定了兩種不同的獎勵方案：

方案一：直接發放獎金，日純利潤低于時每名員工發放獎金70元，日純利潤不低于時每名員工發放獎金90元；

方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中日純利潤不低于時每位員工均有兩次抽獎機會，日純利潤低于時每位員工只有一次抽獎機會；每次抽獎的獎金及對應的概率分別為

金額	50元	100元
概率

小張恰好為該大型超市的一名員工，則從數學期望的角度看，小張選擇哪種獎勵方案更有利？

參考數據：若，則，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②獎勵方案二.

【解析】

（1）由頻數分布表可知，日純利潤在區間內的頻率為，基于“用樣本頻率估計總體分布的概率”的思想，可知日純利潤在區間內的頻率為，記其中日純利潤不低于5萬元且低于7萬元的天數為，則，基于二項分布的性質即可求解；

（2）①基于正態分布的原則及其性質即可求解；

②首先計算方案一的數學期望，其次針對方案二，列出隨機變量的分布列，計算出方案二的數學期望，比較兩方案的結果，判斷出選擇方案二更有利.

（1）由頻數分布表可知，日純利潤在區間內的頻率為，

記其中日純利潤不低于5萬元且低于7萬元的天數為，則.

所求的概率.

（2）①，.又，

.

故該大型超市1000天內日純利潤在區間的天數為.

②易知.

對于獎勵方案一：設小張每日獎金金額為，則的可能取值為70，90，其對應的概率均為，故.

對于獎勵方案二：設小張每日獎金金額為，則的所有可能取值為50，100，150，200.

；

；

；

.

的分布列為

	50	100	150	200

.，

從數學期望的角度看，小張選擇獎勵方案二更有利.