Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（1﹣sinx）ex.

（1）求f（x）在區(qū)間（0，π）的極值；

（2）證明：函數(shù)g（x）＝f（x）﹣sinx﹣1在區(qū)間（﹣π，π）有且只有3個(gè)零點(diǎn)，且之和為0.

Answer 1

【答案】（1）極小值，無極大值；（2）見解析

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論即可；

（2）先求出0是的一個(gè)零點(diǎn)，然后判斷出在上的單調(diào)性，結(jié)合第（1）問，得出在上的單調(diào)性，進(jìn)而得出在只有一個(gè)零點(diǎn)；通過求，可以得到在上也只有一個(gè)零點(diǎn)；從而證明函數(shù)在區(qū)間有且只有3個(gè)零點(diǎn)，且之和為0.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

令，得，，從而，

當(dāng)時(shí)，，，

所以，，從而單調(diào)遞減；

當(dāng)，，，

所以，，從而單調(diào)遞增，

故在區(qū)間有極小值，無極大值；

（2）證明：因?yàn)?/span>，所以，從而是的一個(gè)零點(diǎn)；

令，則在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

又，，

所以在區(qū)間有唯一的零點(diǎn)，記為，

又因?yàn)?/span>，

所以對(duì)于任意的，若，必有，

所以在區(qū)間有唯一的零點(diǎn)，

故在區(qū)間的零點(diǎn)為，0，，

所以在區(qū)間有且只有3個(gè)零點(diǎn)，且之和為0.