Question

設關于x的一元二次方程ax²-2bx+a=0（a，b∈R）
（Ⅰ）若a是集合{1，2，3}中任取一個元素，b是從集合{1，2，3}中任取一個元素，求上述方程有兩個不相等實數根的概率．
（Ⅱ）若a是從區間（0，3）任取的一個實數，b是從區間（0，2）任取的一個實數，求上述方程沒有實數根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統計

分析：（Ⅰ）為古典概型，只需列舉出所有的基本事件和符合條件的基本事件，作比值即可；
（Ⅱ）為幾何概型，作出不等式組對應的平面區域，利用幾何概型的概率公式求出相應的面積即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a為取集合{1，2，3}中任一個元素，b為取集合{1，2，3}中任一個元素，
∴a，b的取值的情況有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為：9．
設“方程f（x）=0有兩個不相等的實根”為事件A，
當a＞0，b＞0時，方程f（x）=0有兩個不相等實根的充要條件為：a＞2b．
當a＞2b時，a，b取值的情況有（3，1），即A包含的基本事件數為：1，
∴方程有兩個不相等實數根的概率

1

9

．
（Ⅱ）若a從區間（0，3）中任取一個數，b從區間（0，2）中任取一個數，
則0＜a＜3且0＜b＜2，對應的區域為矩形，面積S=3×2=6，
方程f（x）=0沒有實根，則△=4b²-4a²＜0，即b²＜a²，∴b＜a，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
則B（2，2），C（3，2），D（3，0），
則題型BCDO的面積S=

1+3

2

×2=4
則由幾何概型的概率公式可得方程f（x）=0沒有實根

2

3

．

點評：本題主要考查概率的計算，根據古典關系和幾何概型的概率公式是解決本題的關鍵．