Question

已知函數f（x）=lnx-

ax

x+1

，當a≥0時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：先求出函數f（x）的導數，通過討論f′（x）的符號得到函數的單調區間．

解答： 解：∵f′(x)=

1

x

-

a(x+1)-ax

(x+1)2

=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

x＞0，考慮分子x²-（a-2）x+1
當△=a²-4a≤0，即0≤a≤4時，在（0，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當△=a²-4a＞0，即a＞4時，方程x²-（a-2）x+1=0有兩個解不相等的實數根：
x₁=

(a-2)- (a-2)2-4

2

，x₂=

(a-2)+ (a-2)2-4

2

，
顯然0＜x₁＜x₂，
∵當x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0；
∴函數f（x）在（

a-2- a2-4a

2

，

a-2+ a2-4a

2

）上單調遞減，
在（0，

a-2- a2-4a

2

）和（

a-2+ a2-4a

2

，+∞）上單調遞增．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，是一道中檔題．