Question

如圖：四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥CD，三角形ADE是等邊三角形，且平面ABCD⊥平面ADE，EF∥AB，CD=2AB=2AD=2EF=4，

CG

=

2

3

CF

（1）求證：AF∥平面BDG；
（2）求二面角C-BD-G的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接AC交BD于H，連接GH，由已知條件推導出GH∥AF，由此能證明AF∥平面BDG．
（2）建立空間坐標系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-BD-G的余弦值．

解答： （1）證明：連接AC交BD于H，連接GH，（1分）
∵

AB

CD

=

1

2

，∴

AH

CH

=

1

2

，
∴

CH

AC

=

2

3

，∴

CH

AH

=

CG

GF

=2，
∴GH∥AF，（3分）
∵GH⊆平面BDGAF不在平面BDG，
∴AF∥平面BDG．（5分）
（2）解：如圖建立空間坐標系D-xyz，
由題意知B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(xiàn)(1，2，

3

)，
∴

CG

=

2

3

CF

=(

2

3

，-

4

3

，

2 3

3

)，
∴

DG

=

DC

+

CG

=(0，4，0)+(

2

3

，-

4

3

，

2 3

3

)=(

2

3

，

8

3

，

2 3

3

)

DB

=(2，2，0)，（8分）
設平面BDG的法向量為

n1

=(x，y，1)
∵

DB • n1 =0 DG • n1 =0

，∴

n1

=(

3

3

，-

3

3

，1)，（10分）
設平面BDC的法向量為

n2

，由題意知

n2

=(0，0，1)，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

5 3

=

15

5

，
∴二面角C-BD-G的余弦值為

15

5

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．