Question

已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P為A₁B上的點．
（1）當P為A₁B中點時，求證：AB⊥PC；
（2）當

A1P

PB

=

1

2

時，求二面角P-BC-A平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）作PD∥AA₁交AB于D，連CD，PD⊥面ABC，由已知條件推導出AB⊥平面PCD，從而能證明AB⊥PC．
（2）過P作PD⊥AB于D，過D作DE⊥BC于E，連結PE，則∠DEP為二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A平面角的余弦值．

解答： （本大題共12分）
（1）證明：當P為A₁B中點時，
作PD∥AA₁交AB于D，連CD，
由AA₁⊥面ABC，知PD⊥面ABC，
∵P為A₁B的中點，∴D為AB中點，
∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，
∴AB⊥平面PCD，
∴AB⊥PC．
（2）解：過P作PD⊥AB于D，
過D作DE⊥BC于E，連結PE，
則∠DEP為二面角P-BC-A的平面角，
∵PD=2，DE=

3

，PE=

7

，
∴cos∠PED=

21

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．