Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，E是AB的中點，∠B=∠C=90°，AB=

2

，CD=

2

2

，BC=1．梯形ABCD（及其內部）繞AB所在的直線旋轉一周，形成一個幾何體．
（Ⅰ）求該幾何體的體積V；
（Ⅱ）設直角梯形ABCD繞底邊AB所在的直線旋轉角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′．
①當θ=60°時，求二面角C′-DE-C的正切值大小；
②是否存在θ，使得AD′⊥C′D．若存在，求角θ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）在直角梯形ABCD作DE⊥AB，則作DE是圓錐的底面半徑，AE是它的高，而BC和CD是圓柱的半徑和母線，根據題意分別求出并代入椎體和柱體的體積公式，進行求和求出旋轉體得體積；
（Ⅱ）①取BC，DE的中點分別為F，G，由已知條件推導出∠C′GF是所求二面角的平面角，由此能求出其正切值．
②先假設存在θ滿足題意，再根據AD′⊥DC′和余弦定理進行求解，求出對應一個角的余弦值大于0，與線線垂直矛盾，故證出假設不成立即不存在．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知該幾何體是一個底面半徑為1高為

2

2

的圓柱體
和底面半徑為1高為

2

2

的圓錐體的組合體，
∴該幾何體的體積V=π×12×

2

2

+

1

3

×π×12×

2

2

=

2

3

2

π．
（Ⅱ）①取BC，DE的中點分別為F，G，
旋轉后有AB⊥BC，AB⊥BC′，
∴AB⊥面BCC′，∴C′F⊥AB，
∵θ=60°，BC=BC′，∴C′F=BC，
∴C′F⊥面BCDE，∴DE⊥C′F，∴DE⊥FG，
∴DE⊥面C′FG，∴DE⊥C′G，
∴∠C′GF是所求二面角的平面角，
∴tan∠C1GF=

6

2

，
∴二面角C′-DE-C的正切值大小為

6

2

．
②連C¹E，則C¹E∥AD¹，
在△C¹DE中，C1E=

3 2

，DE=1，C1D=

5 2 -2cosθ

，
若AD¹⊥C¹D，則∠DC¹E=90°，
從而C¹E²+C¹D²=DE²，
解得cosθ=

3

2

，矛盾，
故不存在θ，使得AD′⊥C′D．

點評：本題是有關旋轉體的綜合題，需要根據題意求出幾何體的幾何元素的長度，再求出它的體積；對存在性問題的處理辦法，一般是先假設存在再根據題意列出關系，證明結果是否有矛盾即可，考查了分析和解決問題的能力．