Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E為AB的中點，以直線CE為折線將點B折起至點P，并保持∠PEB為銳角，連接PA，PC，PD，取PD的中點F．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）當∠PEB=60°時，
①求證：平面PCE⊥平面AECD；
②求PD與平面AECD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取DC中點G，連結GF，AG，由G，F為中點，判斷出FG∥PC，根據線面平行的判定定理知FG∥平面PCE，由AE=CG，AE∥CG，推知四邊形AECG為平行四邊形，進而可知AG∥CE，利用線面平行的判定定理推斷出AG∥平面PCE，則根據面面平行的判定定理可知平面AFG∥平面PCE，利用面面平行的性質可推斷出AF∥平面PCE．
（Ⅱ）①由∠PEB=60°，PE=BE=1，推斷出PB=1，取CE的中點O，PE=PC=1，且∠EPC=90°，求得OP，同理可求得OB，進而知OP²+OB²=BP²，判斷出OP⊥OB，又有OP⊥CE，CE?平面BEC，OB?平面BEC，BO∩OP=P，推斷出OP⊥平面BEC，即OP⊥平面CDEF，最后根據線面垂直的判定定理推斷出平面PCE⊥平面AECD．
 ②連結OD，OP⊥平面CDEF，進而可知∠PDO為PD與平面AECD所成角，由BE=CE，∠B=90°，求得∠ECB=45°，進而可知∠ECD=45°，利用余弦定理求得OD，則tan∠PDO可求得．

解答：
（Ⅰ）證明：取DC中點G，連結GF，AG，
∵G，F為中點，
∴FG∥PC，
∵PC?平面PCE，FG?平面PCE，
∴FG∥平面PCE，
∵AE=CG，AE∥CG，
∴四邊形AECG為平行四邊形，
∴AG∥CE，
∵CE?平面PCE，AG?平面PCE，
∴AG∥平面PCE，
∵AG?平面AFG，FG?平面AFG，FG∩AG=G，
∴平面AFG∥平面PCE，
∵AF?平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
（Ⅱ）①證明：∵∠PEB=60°，PE=BE=1，
PB=1，取CE的中點O，
∵PE=PC=1，且∠EPC=90°，
∴OP=

2

2

，同理可求得OB=

2

2

，
∴OP²+OB²=BP²，
∴OP⊥OB，
∵OP⊥CE，CE?平面BEC，OB?平面BEC，BO∩OP=P，
∴OP⊥平面BEC，即OP⊥平面CDEF，
∵OP?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面AECD．
 ②連結OD，∵OP⊥平面CDAF，
∴∠PDO為PD與平面AECD所成角，
∵BE=CE，∠B=90°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ECD=45°，
∴OD=

CD2+OC2-2CD•OC•cos45°

=

10

2

∴tan∠PDO=

OP

OD

=

2

2

×

2

10

=

5

5

．

點評：本題主要考查了線面垂直，線面平行以及面面垂直的判定定理，線與面所成的角問題．在解決二面角或線面角的時候，關鍵是找到平面角．