Question

【題目】如圖，在四棱椎中，底面為菱形， 為的中點(diǎn).

(1)求證： 平面；

(2)若底面， ， ， ，求三棱椎的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1) 連接交于點(diǎn)，連接，由底面為菱形，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得 ，由線面平行的判定定理可得平面；(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求出，點(diǎn)到底面的距離為，求出底面積，利用棱錐的體積公式可求得三棱椎的體積.

試題解析：(1)證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，由底面為菱形，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，

又∵為中點(diǎn)，

∴為的中位線，

∴.

又∵平面， 平面，

∴平面.

(2)解：∵底面，底面為菱形， ，∴，

又易得，

∴，

∵，得，

∴點(diǎn)到底面的距離為，

∴.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、棱錐的體積公式，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.