Question

【題目】已知是拋物線： （）上一點， 是拋物線的焦點， 且.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知 ，過 的直線 交拋物線 于 、 兩點，以 為圓心的圓 與直線 相切，試判斷圓 與直線 的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為；（2）圓與直線相切．

【解析】試題分析：（1）由拋物線的方程，可得焦點坐標與準線方程，過作于點，

連接 ，利用等邊三角形，求得的值，即可得到拋物線的方程；

（2）當直線 的斜率不存在時，可得圓 與直線 相切．

當直線的斜率存在時，設方程為，代入拋物線的方程，求得，進而得到直線、的方程，求得點到直線的距離，得到，即可判定直線與圓相切．

試題解析：

（1）拋物線 : （ ）的準線方程為 : ，

過 作 于點 ，連接 ，則 ，

∵ ，∴ 為等邊三角形，

∴ ，∴ ．

∴拋物線 的方程為 ．

（2）直線 的斜率不存在時， 為等腰三角形，且 ．

∴圓 與直線 相切．

直線 的斜率存在時，設方程為 ，

代入拋物線方程，得 ，

設 ， ，則 ．

直線 的方程為，即 ，

∴圓 的半徑 滿足

．

同理，直線 的方程為 ，

到直線 的距離 ， ．

∴ ，∴ ，∴圓 與直線 相切，

綜上所述，圓 與直線 相切．