Question

【題目】設|θ|＜ ，n為正整數，數列{an}的通項公式an=sin tannθ，其前n項和為Sn
（1）求證：當n為偶函數時，an=0；當n為奇函數時，an=（﹣1） tannθ；
（2）求證：對任何正整數n，S2n= sin2θ[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．

Answer 1

【答案】
（1）證明：an=sin tannθ，

當n=2k（k∈N*）為偶數時，an=sinkπtannθ=0；

當n=2k﹣1為奇函數時，an= tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1） tannθ

（2）證明：a2k﹣1+a2k=（﹣1） tannθ．∴奇數項成等比數列，首項為tanθ，公比為﹣tan2θ．

∴S2n= = sin2θ[1+（﹣1）n+1tan2nθ]

【解析】（1）利用sin = ，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1） tannθ．利用等比數列的求和公式即可得出．