Question

【題目】如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E，證明：

（1）BE=EC；
（2）ADDE=2PB2 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，OA，則∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，

∵PC=2PA，D為PC的中點，

∴PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA，

∵∠PDA=∠CDE，

∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，

∴OE⊥BC，

∴E是 的中點，

∴BE=EC；

（2）證明：∵PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，

∴PA2=PBPC，

∵PC=2PA，

∴PA=2PB，

∴PD=2PB，

∴PB=BD，

∴BDDC=PB2PB，

∵ADDE=BDDC，

∴ADDE=2PB2．

【解析】（1）連接OE，OA，證明OE⊥BC，可得E是 的中點，從而BE=EC；（2）利用切割線定理證明PD=2PB，PB=BD，結合相交弦定理可得ADDE=2PB2 ．