Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.

（1）若，求直線以及曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，且，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根據的大小消去參數，求得直線的直角坐標方程，利用極坐標和直角坐標轉化公式，求得曲線的直角坐標方程.（2）方法1：寫出直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，根據極坐標系下的弦長公式列方程由此求得直線的斜率.方法2：設出直線的直角坐標方程，聯立直線的方程和曲線的直角坐標方程，利用弦長公式列方程，解方程求得直線斜率.

解：（1）由題意，直線，可得直線是過原點的直線，

故其直角坐標方程為，

又，由

故；

（2）由題意，直線l的極坐標為，

設、對應的極徑分別為，

將代入曲線的極坐標可得：

，

故，，

，

故，則，即，，

所以故直線的斜率是

法二：由題意，直線方程為，設、對應的點坐標為

聯立直線與曲線的方程，消去得.

所以，故直線的斜率是.