Question

【題目】已知橢圓C：(a＞b＞0)，左、右焦點分別為F1(﹣1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為，過點P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A在B的左側）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若B是AP的中點，求直線l的方程；

（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或；

（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據交點坐標和離心率可求得，根據可求得橢圓方程；（2）設，根據中點坐標公式可得；代入橢圓方程求得點坐標，進而得到直線斜率，利用點斜式方程可求得結果；（3）設，，則，設所求定點，根據三點共線斜率相等可構造等式求得，利用韋達定理表示出后可整理化簡得到，從而證得結論.

（1）由焦點坐標可知：

又橢圓離心率

橢圓方程為：

（2）設

是中點，

都在橢圓上 ，解得：或

或 或

直線方程為：

即：或

（3）設，，則

設為直線與軸的交點，且

三點共線 ，解得：

設直線方程為：，

則，

聯立，化簡得：

，

則

直線與軸相交于定點