Question

【題目】已知函數對任意，都有.

（1）若函數的頂點坐標為且，求的解析式；

（2）函數的最小值記為，求函數在上的值域.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）由可得到的對稱軸是，由，可得到，結合頂點的坐標可知，即可求出的解析式；（2）由的對稱軸是，且，可知，可得到，然后討論對稱軸與所給區間的關系，可判斷函數的單調性，即可得到的值域。

解：（1）∵，∴，

∵函數對任意，都有

∴的對稱軸是即

∴，

又∵函數的頂點坐標為，∴，解得.

因此函數的解析式為：.

（2）由（1）知的對稱軸時，且.

∴，.

對稱軸為，

當即時，在是遞減的，∴的值域是；

當即時，在上是遞增的，在上是遞減的，

若即，的值域是，

若即，的值域是，

當即時，在上是遞增的，∴的值域是；

綜上，當時的值域是；當時的值域是；

當時的值域是；當時的值域是.