Question

【題目】設已知拋物線C：y2=2px的焦點為F1 ， 過F1的直線l與曲線C相交于M，N兩點．
（1）若直線l的傾斜角為60°，且|MN|= ，求p；
（2）若p=2，橢圓 +y2=1上兩個點P，Q，滿足：P，Q，F1三點共線且PQ⊥MN，求四邊形PMQN的面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的方程為y= （x﹣ ），代入拋物線方程，整理可得 =0，

∴xN+xM= ，

∵|MN|= ，

∴ +p= ，∴p=2；

（2）解：當直線MN斜率不存在時，直線PQ斜率為0，此時|MN|=4，|PQ|=2 ，SPMQN=4 ．

當直線MN斜率存在時，設方程為y=k（x﹣1）（k≠0），代入拋物線可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

∴xM+xN= +2，

∴|MN|= +4

由PQ⊥MN，可設PQ的方程y=﹣ （x﹣1），代入橢圓方程得（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，

∴xP+xQ= ，xPxQ= ，

∴PQ|= = ，

∴S= ，

令t=1+k2（t＞1），S= =4 （1+ ）＞4 ，

∴四邊形PMQN的面積的最小值為4 ．

【解析】（1）直線l的方程為y= （x﹣ ），代入拋物線方程，利用弦長公式，求p；（2）分類討論，求出弦長，表示面積，即可得出結論．