Question

【題目】已知f（x）= 是奇函數．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）關于x的不等式2m﹣1＞f（x）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ 是奇函數，∴f（x）+f（﹣x）=0恒成立

∴（a+b）x2+a=0恒成立，∴a=0，b=0

∴ ，

由f'（x）＞0，得﹣1＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1或x＜﹣1故函數f（x）的增區間為（﹣1，1），f（x）的減區間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）.

（2）

解：∵2m﹣1＞f（x）有解，∴2m﹣1＞f（x）min即可

當x＞0時，f（x）＞0；當x=0時，f（0）=0；當x＜0時，f（x）＜0

由（I）知f（x）在（﹣∞，﹣1）上為減函數，在（﹣1，0）上為增函數

∴f（x）min=f（﹣1）=﹣1

∴2m﹣1＞﹣1，∴m＞0

【解析】（1）利用函數是奇函數，得到f（x）+f（﹣x）=0恒成立，推出a=0，b=0，化簡函數的解析式，求出函數的導數，由f'（x）＞0，由f'（x）＜0，求解函數的單調區間．（2）利用2m﹣1＞f（x）有解，推出2m﹣1＞f（x）min即可，利用函數的單調性求解函數的最值，求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．