Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，
f（x）= ，
則關于x的函數F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點之和為（　　）
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵當x≥0時，
f（x）=；
即x∈[0，1）時，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]時，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）時，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
畫出x≥0時f（x）的圖象，
再利用奇函數的對稱性，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）﹣a=0共有五個實根，
最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，
∵x∈（﹣1，0）時，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中間的一個根滿足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a ，
解得x=1﹣2a ，
∴所有根的和為1﹣2a ．
故選：A．
函數F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零點轉化為：在同一坐標系內y=f（x），y=a的圖象交點的橫坐標．
作出兩函數圖象，考查交點個數，結合方程思想，及零點的對稱性，根據奇函數f（x）在x≥0時的解析式，作出函數的圖象，結合圖象及其對稱性，求出答案．