Question

【題目】已知函數.

（1）判斷并證明函數的奇偶性；

（2）判斷當時函數的單調性，并用定義證明；

（3）若定義域為，解不等式.

【答案】（1）奇函數（2）增函數（3）

【解析】試題分析：（1）判斷與證明函數的奇偶性，首先要確定函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數，否則是非奇非偶函數。（2）利函數單調性定義證明單調性，按假設，作差，化簡，判斷，下結論五個步驟。（3）由（1）（2）奇函數在（-1，1）為單調函數，

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數的單調性及定義（-1，1）求解得x范圍。

試題解析：（1）函數為奇函數．證明如下：

定義域為

又

為奇函數

（2）函數在（-1，1）為單調函數．證明如下：

任取，則

，

即

故在（-1，1）上為增函數

（3）由（1）、（2）可得

則

解得：

所以，原不等式的解集為

【點睛】

（1）奇偶性：判斷與證明函數的奇偶性，首先要確定函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數，否則是非奇非偶函數。

（2）單調性：利函數單調性定義證明單調性，按假設，作差，化簡，定號，下結論五個步驟。

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知函數.

（1）若的定義域和值域均是，求實數的值；

（2）若在區間上是減函數，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；

（3）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先利用二次函數的性質確定函數的單調遞減區間為，故在單調遞減，然后由定義域與值域列出等式關系，從而求解即可；（2）由（1）可知，初步確定的取值范圍，然后確定時函數的最大值，從中求解不等式組即可；（3）將“對任意的，都存在，使得成立”轉化為時，的值域包含了在的值域，然后進行分別求在的值域，從集合間的包含關系即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）∵

∴在上單調遞減，又，∴在上單調遞減，

∴，∴，∴4分

（2）∵在區間上是減函數，∴，∴

∴，

∴時，

又∵對任意的，都有，

∴，即，也就是

綜上可知8分

（3）∵在上遞增，在上遞減，

當時，，

∵對任意的，都存在，使得成立

∴

∴，所以13分