Question

【題目】如圖， 是圓的直徑，點在圓上，矩形所在的平面垂直于圓所在的平面， ．
（1）證明：平面⊥平面；
（2）當三棱錐的體積最大時，求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）h=

【解析】試題分析：（1）先根據平幾知識得BC⊥AC，CD⊥BC，再利用線面垂直判定定理得BC⊥平面ACD，即有DE⊥平面ACD，最后根據面面垂直判定定理得平面⊥平面；（2）先根據DE⊥平面ACD，表示三棱錐的體積，再根據基本不等式得體積最大時滿足的條件： ，最后利用等體積求高，即可得點到平面的距離．

試題解析：（1）∵AB是直徑，∴BC⊥AC

又四邊形DCBE為矩形，CD⊥DE，BC∥DE，

∴CD⊥BC．

∵CD∩AC=C，

∴BC⊥平面ACD，

∴DE⊥平面ACD

又DE平面ADE，

∴平面ADE⊥平面ACD

（2）由（1）知VC﹣ADE=VE﹣ACD==

==，

當且僅當AC=BC=2時等號成立

∴當AC=BC=2三棱錐C﹣ADE體積最大為：

此時，AD==3，=3，

設點C到平面ADE的距離為h，則

∴h=