Question

【題目】已知拋物線y=﹣ +bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）（x﹣1），即y=﹣ x2﹣ x+2；

（2）

解：存在．

當(dāng)x=0，y═﹣ x2﹣ x+2=2，則C（0，2），

∴OC=2，

∵A（﹣4，0），B（1，0），

∴OA=4，OB=1，AB=5，

當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，

∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0）；

當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，PB∥AC，如圖1，

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

把A（﹣4，0），C（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2，

∵BP∥AC，

∴直線BP的解析式為y= x+p，

把B（1，0）代入得 +p=0，解得p=﹣ ，

∴直線BP的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 得 或 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）

解：存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，0），F(xiàn)（n，﹣ n2﹣ n+2）

①當(dāng)AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時(shí)E1坐標(biāo)（﹣7，0），

②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2，

∴﹣ n2﹣ n+2=﹣2，解得n= ，得到F2（ ，﹣2），F(xiàn)3（ ，﹣2），

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到： = 或 = ，

解得m= 或 ，

此時(shí)E2（ ，0），E3（ ，0），

③當(dāng)AC為對角線時(shí)，AE4=CF1=3，此時(shí)E4（﹣1，0），

綜上所述滿足條件的點(diǎn)E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）．

【解析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組解決點(diǎn)P坐標(biāo)，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考壓軸題．
（1）因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設(shè)拋物線為y=﹣ （x+4）（x﹣1），展開即可解決問題；
（2）先證明∠ACB=90°，點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P，求出直線AC解析式，再求出過點(diǎn)B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題；
（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對角線兩種切線討論即可解決問題．