Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)>0時(shí),求函數(shù)的極值點(diǎn);

(2)證明:當(dāng)時(shí), 對(duì)恒成立.

Answer 1

【答案】（1）極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)-2.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再在定義域內(nèi)求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定極值點(diǎn)；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí),h(x)在R單調(diào)遞增,無極值點(diǎn); 當(dāng)及時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn)，（2）要證對(duì)恒成立,即證對(duì)恒成立,本題利用強(qiáng)化條件： 的最大值不大于最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)分別求函數(shù)最值即可.

試題解析：(1) .

①當(dāng)時(shí),h(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

函數(shù)有極小值點(diǎn)-2,極大值點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),h(x)在R單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);

③當(dāng)時(shí),h(x)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

函數(shù)有極小值點(diǎn),極大值點(diǎn)-2.

(2) ,則.

因此f(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴.①

要證對(duì)恒成立,即證對(duì)恒成立,

令,

當(dāng)時(shí), 得 (舍去)

由知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,‘

,即,

所以在上, ,

又知,∴.②

由①②知,對(duì),不等式恒成立.