Question

（本小題滿分12分）
已知直線： 和橢圓，橢圓C的離心率為，連結橢圓的四個頂點形成四邊形的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線與橢圓C有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍；
（3）當時，設直線與y軸的交點為P，M為橢圓C上的動點，求線段PM長度的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）||取得最大值.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、兩點間的距離公式、配方法求函數最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，利用橢圓的標準方程，利用離心率求出基本量a和b，從而得到橢圓的標準方程；第二問，直線與橢圓方程聯立，消參，由于直線與橢圓交于2個點，所以消參后的方程的判別式大于0，解不等式求出m的取值范圍；第三問，將m=2代入，直接得到直線的方程，從而得到p點坐標，設出p點坐標，則利用兩點間距離公式可求出，利用點M在橢圓上，轉化x，通過配方法求函數的最值.
（1）由離心率，得
又因為，所以，
即橢圓標準方程為．                                                    4分
（2）由    消得：．
所以， 可化為
解得．                                                          8分
（3）由l：,設， 則, 所以                            9分
設滿足,
則|
因為 ， 所以                                                          11分
當時，||取得最大值．                                                12分