Question

已知橢圓過點，且離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知過點的直線與該橢圓相交于A、B兩點，試問：在直線上是否存在點P，使得是正三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）橢圓的方程為.（2）存在符合題意的點.

試題分析：（1）由題意得                      2分
解得
（2）討論當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點； 
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為,
代入，整理得,
設，，應用韋達定理得到，,
設存在符合題意的點，
從而弦長
,
設線段的中點，則，
所以,
根據是正三角形，得到，且,                   
由得,
得到,
由得關于的方程，
解得..
（1）由題意得                      2分
解得                          4分
所以橢圓的方程為.                5分
（2）當直線的斜率為0時，不存在符合題意的點；        6分
當直線的斜率不為0時，設直線的方程為,
代入，整理得,
設，，則，,
設存在符合題意的點，
則

,              8分
設線段的中點，則，
所以,
因為是正三角形，所以，且,       9分
由得即，所以,
所以,     10分
由得，
解得，所以.                    12分
由得,
所以,
所以存在符合題意的點.                  14分