Question

橢圓C： 左右焦，若橢圓C上恰有4個不同的點P，使得為等腰三角形，則C的離心率的取值范圍是 _______

Answer 1

（，）∪（，1）

試題分析：分兩種情況：第一種情況，當點P與短軸的頂點重合時，△F₁F₂P構成以F₁F₂為底邊的等腰三角形，此種情況有2個滿足條件的等腰△F₁F₂P；第二種情況，當△F₁F₂P構成以F₁F₂為一腰的等腰三角形時，以F₂P作為等腰三角形的底邊為例，∵F₁F₂=F₁P，∴點P在以F₁為圓心，半徑為焦距2c的圓上，因此，當以F₁為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2交點時，存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P，此時a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率e，當e=時，△F₁F₂P是等邊三角形，與①中的三角形重復，故e≠，同理，當F₁P為等腰三角形的底邊時，在e且e≠時也存在2個滿足條件的等腰△F₁F₂P這樣，又因為橢圓C上恰有4個不同的點P，使得為等腰三角形，故第一種情況不成立，綜上所述，離心率的取值范圍是：e∈（，）∪（，1）．