Question

已知橢圓C：( )的離心率為，點(1，)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的兩條切線交于點M(4，)，其中，切點分別是A、B，試利用結論：在橢圓上的點()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；
（3）試探究的值是否恒為常數，若是，求出此常數；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1） ；（2）參考解析；（3）

試題分析：（1）由離心率為，點(1，)在橢圓C，根據橢圓方程的等量關系即可求出的值，即得到橢圓方程.
（2）由橢圓切線方程是，又因為切點分別為A，B.所以帶入A，B兩點的坐標，即可得到兩條切線方程，又因為這兩條切線過點M，代入點M的坐標，即可得經過A，B的直線方程，根據右焦點的坐標即可得到結論.
（3）由（2）可得直線AB的方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理，兩點的距離公式表達出，通過運算即可得到結論.
（1）設橢圓C的方程為()
①
點(1，)在橢圓C上，②，
由①②得：
橢圓C的方程為，         4分
（2）設切點坐標，，則切線方程分別為，.
又兩條切線交于點M(4，)，即，
即點A、B的坐標都適合方程，顯然對任意實數，點(1，0)都適合這個方程，
故直線AB恒過橢圓的右焦點.            7分
（3）將直線的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以，       10分
不妨設，，
同理
所以==
所以的值恒為常數.       13分