Question

橢圓:的左頂點為,直線交橢圓于兩點(上下),動點和定點都在橢圓上.
(1)求橢圓方程及四邊形的面積.
(2)若四邊形為梯形,求點的坐標.
(3)若為實數,,求的取值范圍.

Answer 1

(1)；.(2). (3).

試題分析：（1）將D的坐標代入即得，從而得橢圓的方程為.
將代入得.由此可得和的面積，二者相加即得四邊形的面積.（2）在橢圓中AP不可能平行BC，四邊形ABCP又為梯形，所以必有，由此可得直線PC的方程，從而求得點P的坐標.（3）設，由得則與間的關系，即，又因為點P在橢圓上，所以，由此可得，這樣利用三角函數的范圍便可求得的范圍.
（1）因為點D在橢圓上，所以，
所以橢圓的方程為.
易得：，的面積為.
直線BD的方程為，即.所以點A到BD的距離為，，.
所以.
（2）四邊形ABCP為梯形，所以，直線PC的方程為：
即.代入橢圓方程得（舍），
將代入得.所以點P的坐標為.
（3）設，則，即
因為點P在橢圓上，所以，
由此可得，
所以.